Решите неравенство: tgx > -1

Данное неравенство можно решить аналитически, используя свойства тригонометрических функций и алгебры. Воспользуемся тем, что tg(x) = sin(x)/cos(x) и учитывая, что cos(x) может быть отрицательным на некоторых интервалах, необходимо разобрать два случая:

1. cos(x) > 0 (это значит, что x находится в первом или четвертом квадранте) В этом случае неравенство можно переписать как sin(x) > -cos(x). После преобразований получаем: tg(x) = sin(x)/cos(x) > -1 sin(x) > -cos(x) sin(x) + cos(x) > 0 ?2 * sin(x + ?/4) > 0 sin(x + ?/4) > 0 x ? (2?n - ?/4; 2?n + 5?/4), где n ? Z.

2. cos(x) < 0 (это значит, что x находится во втором или третьем квадранте) В этом случае неравенство можно переписать как sin(x) < -cos(x). После преобразований получаем: tg(x) = sin(x)/cos(x) < -1 sin(x) < -cos(x) sin(x) + cos(x) < 0 ?2 * sin(x - ?/4) < 0 sin(x - ?/4) < 0 x ? (2?n + 3?/4; 2?n + 7?/4), где n ? Z.

Таким образом, решение неравенства tg(x) > -1 состоит из объединения двух интервалов: x ? (2?n - ?/4; 2?n + 5?/4) ? (2?n + 3?/4; 2?n + 7?/4), где n ? Z.